2015年9月，肖嘉芮萱进入鞍山市军事体育学校训练。
2016年年底，肖嘉芮萱被选到辽宁省射击队集训。
2017年，肖嘉芮萱到中国国家射击队青年队试训。
2018年，肖嘉芮萱正式进入辽宁省射击队。
2019年8月10日，在中华人民共和国第二届青年运动会射击项目体校甲组女子25米手枪个人决赛中，肖嘉芮萱以35中的成绩获得亚军。 12月3日，在2019年全国射击总决赛女子25米手枪决赛中，肖嘉芮萱以39中的成绩获得亚军。 同年年底，肖嘉芮萱正式进入中国国家射击队。
2020年2月10日，肖嘉芮萱被中国射击协会授予运动健将称号。 8月29日，在中国国家射击队队内考核赛女子25米手枪比赛中，肖嘉芮萱以37中的成绩获得冠军。 11月3日，在2020年全国射击锦标赛25米女子手枪比赛中，肖嘉芮萱以37中的成绩获得冠军。 11月7日，在中国国家手枪射击队东京奥运会初步队伍选拔赛（第一场）女子25米手枪决赛中，肖嘉芮萱以40中的成绩获得亚军。 11月10日，在中国国家手枪射击队东京奥运会初步队伍选拔赛（第二场）女子25米手枪决赛中，肖嘉芮萱以39中的成绩获得冠军。2021年2月4日，在中国国家射击队东京奥运会最终队伍选拔赛（第一场）女子25米手枪决赛中，肖嘉芮萱获得亚军。 3月26日，在中国国家射击队东京奥运会最终队伍选拔赛（第四场）女子25米手枪决赛中，肖嘉芮萱获得第4名，并以总积分165分获得东京奥运会参赛资格。 7月14日，肖嘉芮萱入选2020年东京奥运会中国体育代表团射击项目运动员名单。 7月30日，2020东京奥运会射击女子25米运动手枪比赛举行，在资格赛中，肖嘉芮萱以587环位列第二，进入决赛；在决赛中，肖嘉芮萱连续两轮通过加枪取胜，获得铜牌。
肖嘉芮萱在训练的时候很专注，她的天赋很好，而且性格开朗，出枪果断、敢打。她是那种压力多大都能抗住的队员，而且压力越大，能量越大。 （辽宁射击队手枪项目教练王丽娜评）
肖嘉芮萱有着很好的心理素质，即“大心脏”，这也是一个优秀射击运动员所必须要具备的特质。 （北京头条记者宋翔评）
2022年4月，入选2022年优秀运动员本科保送推荐公示名单。